Tudo o que você precisa saber sobre refinamento de malha e convergência de tensão na análise de elementos finitos

 em Análise de Sistemas

O Método dos Elementos Finitos (MEF), quando empregado em softwares de análise estrutural, permite o estudo dos deslocamentos e das tensões às quais os membros estruturais são sujeitos devido a carregamentos previstos e acidentais. O MEF é formulado por sistemas de equações algébricas cuja solução se aproxima da obtida pelas equações diferenciais que modelam analiticamente o problema estudado. Os domínios de análise utilizados nas simulações são definidos a partir da forma geométrica da estrutura e das hipóteses simplificadoras impostas ao problema. 

Esses domínios são divididos em elementos finitos, que são conectados entre si através de nós. O conjunto de nós denomina-se malha, cuja qualidade e refinamento são parâmetros decisivos para a convergência das simulações. Pode-se considerar que uma simulação virtual de problemas de engenharia converge quando as condições de consistência e estabilidade são atingidas, de modo que a solução numérica obtida é a solução exata das equações discretizadas e tende para a solução das equações diferenciais quando a malha é refinada. Na Figura 1, podemos ver como um domínio é discretizado computacionalmente em elementos e nós.

Exemplo de discretização de malha em domínio computacional

Figura 1 – Exemplo de discretização de malha em domínio computacional. Fonte: elaboração própria.

Em problemas com descontinuidades geométricas, anteriormente abordados no artigo  Análise estrutural com concentração de tensão  o refinamento de malha deve ser avaliado criteriosamente, a fim de atingir resultados confiáveis sobre a distribuição de tensão na região dos entalhes. Buscando demonstrar a importância do refinamento em simulações como essa, a VirtualCAE desenvolveu um estudo detalhado da influência desse aspecto da malha na determinação da tensão máxima em uma placa plana com furo central, conforme explicado abaixo. Para isso, foi utilizado o software FEMAP, da Siemens.

Primeiramente, uma simulação com malha grosseira, com apenas 819 elementos, foi realizada. A tensão obtida para o centróide de cada elemento, sem calcular a média, pode ser visualizada na Figura 2. Pode-se observar que os valores de tensão variam de forma abrupta de um elemento para o outro, evidenciando que a malha não foi refinada o suficiente para descrever corretamente o efeito físico que se espera ser visualizado.

Distribuição da tensão de Von-Mises para malha com 819 elementos

Figura 2 – Distribuição da tensão de Von-Mises para malha com 819 elementos. Fonte: elaboração própria.

Posteriormente, a malha foi refinada, obtendo-se um total de 4091 elementos. As Figuras 3 e 4 apresentam imagens do pós-processamento dessa nova simulação. Apesar da melhor aparência da distribuição de tensão, é possível verificar que os valores ainda mudam abruptamente de elemento para elemento. Além disso, observa-se que houve uma grande variação no valor máximo da tensão de Von-Mises calculado pelo software.

Distribuição da tensão de Von-Mises para malha com 4091 elementos

Figura 3 – Distribuição da tensão de Von-Mises para malha com 4091 elementos. Fonte: elaboração própria.

Tensão de Von-Mises na região da descontinuidade geométrica para malha com 4091 elementos.

Figura 4 – Tensão de Von-Mises na região da descontinuidade geométrica para malha com 4091 elementos. Fonte: elaboração própria

Estudos sobre o refinamento de malha são desenvolvidos para determinar qual o número mínimo de elementos necessários para se atingir a convergência dos valores de solução. Isso significa que, para determinado número de elementos ou nós, a solução converge e não é mais necessário refinar a malha, uma vez que isso não forneceria solução diferente e ainda gastaria mais recurso computacional. 

Para o caso estudado, conforme o número de elementos da malha foi aumentando, a tensão máxima calculada na descontinuidade geométrica foi convergindo. Além das malhas já apresentadas, foram realizadas simulações para malhas com 24945, 67098 e 132858 elementos. Com o decorrer do estudo, pôde-se notar que, além da mudança nos valores locais de tensão, a distribuição se tornou mais uniforme ao longo da estrutura. Essas conclusões podem ser verificadas nas Figuras 5 e 6, que foram retiradas do pós-processamento da simulação com a malha mais refinada.

Distribuição da tensão de Von-Mises para malha com 132858 elementos

Figura 5 – Distribuição da tensão de Von-Mises para malha com 132858 elementos. Fonte: elaboração própria

ão de Von-Mises na região da descontinuidade geométrica para malha com 132858 elementos

Figura 6 – Tensão de Von-Mises na região da descontinuidade geométrica para malha com 132858 elementos. Fonte: elaboração própria

Por fim, a Figura 7 apresenta o gráfico de convergência do valor máximo da tensão de Von-Mises encontrado nas simulações com o aumento do número de elementos da malha. Deve-se ressaltar que o tempo de simulação das malhas mais refinadas foi muito superior ao das malhas grosseiras. Esse gasto computacional sempre deve ser contabilizado, uma vez que o recurso de tempo inclui despesas ao projeto.

Gráfico de convergência do valor máximo da tensão de Von-Mises

Figura 7 – Gráfico de convergência do valor máximo da tensão de Von-Mises. Fonte: elaboração própria.

A escolha do nível de precisão dos resultados deve ser estabelecida mediante as condições físicas reais de aplicação da estrutura. Dependendo da situação, os níveis de tolerância podem ser maiores ou menores. É importante que o engenheiro de simulação estrutural conheça os limites aplicáveis às condições do problema, a fim de buscar os parâmetros de malha ideais para a correta solução pelo método de elementos finitos, aplicado nos softwares de análise estrutural

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